如何学好统计热力学 || 周末读书

统计物理歌

冰凉温烫冷热寒，瞬息多变唯象观。

宏观微观百类奇，系综理论一线穿。

绝热杜功系孤立，微正系综态平权。

统计物理汝为本，热学规律尔作源。

正则系综封闭系，负能贝塔指数肩。

配分函数囊百宝，对数求导解万难。

量子经典君可辨，涨落一曲奏凯旋。

摘自 梁希侠《统计热力学（第三版）》学习辅导

一、认识知识体系

关于热物理的理论包括宏观理论和微观理论两种：热力学和统计物理学。

 热力学是宏观唯象理论，其核心是由经验总结出的三个(或四个)热力学定律。运用这三个基本定律，可以导出热力学系统在宏观过程中演变的规律。因此，热力学是一种十分普遍的理论。然而，由于它的唯象性，热力学理论本身还无法预言具体物质的特性；作为一种宏观理论，对大量微观粒子无规运动导致的涨落现象也不能给出正确的解释。

统计物理学是热物理的微观理论。它从分析宏观系统中大量微观粒子的力学运动入手，通过统计平均实现对宏观现象的描述，从一个基本假设出发，导出了相互独立的三个热力学基本定律；同时还能通过对具体物质建立微观模型，实施统计平均，预言其热学性质和宏观演化规律。统计物理学的理论从微观运动规律出发，反映热运动的本质，因此是“唯理”的。由于从微观运动规律出发，统计物理学在获得微观量统计平均的同时，也对涨落现象给出了正确的理论解释。

热物理宏观与微观理论框架

国内长期沿袭的教学体系是将热物理理论分为“热力学”和“统计物理学”两个独立的部分学习，故称“热力学与统计物理学”。 这种知识体系相当于“热”、“统”两门课程的拼合。 与传统体系不同，我们打破“热”-“统”壁垒，系统构建了贯通微观与宏观理论的“统计热力学”知识体系。

统计热力学体系结构框图

“统计热力学”体系的主要特点是：热物理学以微观理论为框架，融微观和宏观理论于一体；微观理论以系综理论为主线，强化体系的系统性；系综理论以量子论为基础，准确认识微观运动本质。“统计热力学”知识体系建立在统计物理的基本（也是唯一的）假设——微正则系综的基础之上，从这个假设出发，导出了描述不同宏观条件下微观系统的系综分布，进而给出热力学的宏观定律和热力学关系，计算出热力学函数，并将结果应用于实际体系，预言和解释宏观热现象。 对微观体系力学运动的描述建立在量子论的基础上，经典统计理论则作为量子理论的极限情形讨论。

二、奠定知识基础

通过普通物理的学习，大家对经典的“热学”和“分子动理学”已有基本了解，熟悉了由实验观测归纳总结热力学基本定律（主要是第零、第一和第二定律）的认识过程。 这些知识是学习统计热力学必备的基础，认真回顾普通物理所学的相关知识，牢记其中反映基本规律的最核心内容，是十分必要的。

微观力学运动遵从量子力学规律，经典力学只是量子力学在特殊条件下的极限结果。为使大家尽快认识微观运动的本质，迅速进入对前沿科学的学习，可以将系综理论建立在量子论基础之上。 为此，在学习全部知识之前，需要适当进行量子论基本知识的准备。 需要了解量子态、能级、简并、全同性、对应关系等概念，给出描述微观粒子和体系力学运动状态的基本知识，读者合回顾普通物理学到的量子力学初步知识，或参考学习量子物理学的相关知识，就足以能接受量子统计有关概念。

与普通物理不同，理论物理课程的学习将用到较多的高等数学工具。 因此，在统计热力学学习之初，复习高等数学的有关概念和方法，做一定的数学准备也是重要的。 事实上，热物理基本理论涉及的数学并不复杂，只要能较好地懂得概率的基本概念，较熟练运用级数求和、微分（特别是偏微分）与积分计算方法，学习就不会为数学问题所困扰。

三、抓住知识主线

古人云：“提纲挈领”，“举一纲而万目张”，求知之道亦然。热物理的理论看来纷乱复杂，实则系统有序。 在统计热力学看似庞杂的知识群中，有一条贯穿始终的主线——系综理论。 学习中只要抓住这条主线，就抓住了纲，可以纲举目张，统领全局。

可以从一个基本假设——等概率假设（微正则系综）入手，渐次导出各种宏观条件下的系综分布，建立配分函数、巨配分函数等基本概念，给出相应的热力学势和热力学基本微分公式；同时，顺畅地导出如最概然分布、玻耳兹曼统计、玻色统计和费米统计法等常用分布和计算方法，并用于实际问题。

掌握系综理论，首先要认识微观热运动的统计规律，理解其与力学规律的不同，着力掌握统计系综和系综分布的概念；要学会运用系综平均计算热力学函数，进而讨论物体热力学性质的方法；同时还要通过对学习内容的阶段性梳理，逐步理清系综理论体系的脉络，明白不同宏观条件之系综的应用范围和彼此之间的联系。

抓住系综理论这条主线，就会取得学习的主动性。“会当凌绝顶，一览众山小”。 一旦准确、清晰地掌握系综和系综理论的基本概念，我们就登上了统计热力学的“绝顶”，所有热物理问题，皆如芸芸众山，一览无余；我们就能系统地掌握统计物理理论，并能全面、灵活地运用之。

四、把握知识重点

准确把握知识重点，对学好一门课程十分重要。按照统计物理知识框架，可将本课程主要知识点划分为孤立系、封闭系和开放系等三个模块。各模块均先给出相应的系综分布，进而导出热力学基本定律，引入热力学势（特性函数），计算热力学函数，用微观和宏观理论相结合的方法研究具体系统的热力学性质。

统计热力学体系知识结构框图

孤立系  从等概率基本假设出发，引入统计物理的熵，导出热力学第一、第二定律，进而研究理想气体的平衡性质。

封闭系  由微正则分布导出正则分布，引入热力学势——自由能，给出均匀系热力学基本微分式，导出麦克斯韦关系，用热力学理论研究均匀物质的性质，具体讨论电、磁介质热力学、焦-汤效应等典型问题；用正则分布和最概然法导出独立子系的麦-玻分布，进一步导出能均分定理，研究半导体缺陷、负温度、理想和非理想气体（初步）等典型问题。

开放系  由正则分布导出巨正则分布，引入巨势，给出描述开放系的热力学微分式；研究多元复相系的平衡性质，讨论相变和化学热力学问题；导出热力学第三定律，讨论低温化学反应的性质；考虑全同性原理，由巨正则分布导出玻色、费米及准经典极限——麦-玻统计分布，讨论电子气、半导体载流子、光子系的统计性质和玻色-爱因斯坦凝聚等应用实例。

图片来自网络

此外，还应该掌握涨落的准热力学方法，理解描述趋向平衡不可逆过程的简单理论，学会分析若干基本输运过程的初级理论。

五、熟练知识运用

理论物理的学习涉及大量的数学运算，这些运算无疑应该熟练掌握。但是，在进行数学运算时，头脑中应该有清醒的物理概念，切莫被庞杂的数学掩盖物理内涵。 用理论解决实际问题(如课程中的推导和习题演算)的过程大体可分为三个步骤：抽象物理问题，建立合理模型，给出数学方程；运用数学工具，严格演绎推理，求解方程获得理论结果(解析或数值结果)；讨论所获结果，给出物理解释。

统计热力学的计算主要有两类：运用微观理论(系综理论和各种分布)，从微观模型出发，直接计算，研究实际体系的热学性质；运用宏观理论，借助热力学关系，通过演绎推理，由一些热力学量(性质)推出其他热力学量(性质)。

运用系综理论研究体系热力学性质的方法原则上可以归纳为三个基本步骤：

第一步：确立描述微观体系的力学运动模型,写出(解出)各微观态的能量；

第二步：用给出的能量表达式写出配分（巨配分）函数,并通过对微观态（或能级）的求和或积分（注意对应关系）计算热力学势作为b（温度）和位形参数(如体积)、以及粒子数的函数；

第三步：通过对配分函数的对数求导数和进一步的代数运算获得各热力学函数和热力学关系，进而讨论体系的热学性质。

费米分布和玻色分布是量子统计的两种基本的统计法，运用这些分布可以直接计算相应体系的热力学函数。 实现这些计算，除适当选择模型外，确定化学势往往成为最关键、且较困难的步骤，需要着力掌握。 在粒子的不可分辨性不重要，即单粒子能级上分布的平均粒子数远小于能级简并度时，两种分布趋向共同的准经典极限——麦-玻分布。 如果粒子能级间隔很小，接近连续（准连续）时，对量子态的求和可以运用量子态与相体积的对应关系化为积分计算。 对于这些计算技术，应该在理解其物理背景的前提下熟练掌握。

热力学是一种可靠的宏观理论，它从基本定律出发，通过严格的数学推演，系统地给出热力学函数之间的有机联系，并将其用于实际问题。 理解热力学定律的主要推论，熟悉它们的应用，掌握热力学演绎推理方法，是“热统”课程不可或缺的内容。 懂得重要热力学函数的意义，熟悉麦克斯韦关系等热力学关系，熟练地运用它们进行热力学函数之间的互导，进而讨论平衡态的热力学性质，是学好这部分内容的关键。

微观与宏观两种方法相互渗透、相辅相成。通过课后对教学内容中理论推导的演算、复习和深入理解，认真、严谨地对待课后作业和练习，是学好本课程的关键环节。

综上所述，只要做好前期知识准备，掐准系统主线，抓住重点、提纲挈领，认真思考、深入理解基本概念，加之不避繁冗地计算演练，定期总结提炼，学好统计热力学并不困难。

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